Perché la media delle medie può essere sbagliata e quando funziona

Di solito una media viene mostrata come un solo numero, ma nasce da un totale diviso per un conteggio. Se un gruppo di $n$ valori ha media $m$, la somma dei valori del gruppo è $nm$. Conoscere la media senza la numerosità significa perdere una parte dell’informazione necessaria per unire più gruppi.

Per questo due medie visualizzate non devono ricevere automaticamente lo stesso peso. Una media basata su otto osservazioni rappresenta quattro volte i dati di una media basata su due osservazioni. Per combinarle correttamente occorre prima ricostruire i totali dei gruppi.

Supponiamo che il gruppo A contenga $2$ valori con media $90$ e il gruppo B contenga $8$ valori con media $70$. La scorciatoia invitante è $(90+70)/2=80.$ In questo modo, però, trattiamo i due gruppi come se avessero la stessa numerosità.

Ricostruiamo invece i totali. Il gruppo A contribuisce $2\times90=180$ e il gruppo B contribuisce $8\times70=560$. Le $10$ osservazioni hanno somma $740$, quindi la media complessiva è $\frac{180+560}{2+8}=\frac{740}{10}=74.$ Il risultato è giustamente più vicino a $70$, perché otto osservazioni su dieci appartengono al gruppo B.

Per gruppi di numerosità $n_1,n_2,\ldots,n_k$ e medie $m_1,m_2,\ldots,m_k$, la media complessiva è $\bar{x}=\frac{n_1m_1+n_2m_2+\cdots+n_km_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k}.$ Ogni prodotto $n_im_i$ ricostruisce il totale di un gruppo. Il numeratore somma poi tutti i valori, mentre il denominatore conta tutte le osservazioni.

Possiamo anche esprimere i pesi come proporzioni. Nell’esempio, il gruppo A ha peso $2/10$ e il gruppo B peso $8/10$: $(2/10)90+(8/10)70=18+56=74.$ Le due forme descrivono la stessa struttura; conviene scegliere quella che rende i dati più facili da controllare.

Se due gruppi hanno la stessa numerosità $n$, la media complessiva diventa $\frac{nm_1+nm_2}{2n}=\frac{m_1+m_2}{2},$ quindi la scorciatoia è valida. Può dare lo stesso risultato anche quando gruppi di dimensioni diverse hanno medie identiche, perché assegnare pesi differenti allo stesso numero non cambia il valore.

In generale, pesare allo stesso modo è sicuro soltanto quando ogni media rappresenta la stessa quota delle osservazioni sottostanti oppure quando altre informazioni dimostrano che i pesi diversi non incidono sul risultato. Il semplice fatto che “ci siano due medie” non giustifica due pesi pari a un mezzo.

La media complessiva deve trovarsi tra la più piccola e la più grande delle medie di gruppo, purché ogni gruppo abbia numerosità positiva. Inoltre deve spostarsi verso la media del gruppo più grande. Nell’esempio il risultato deve stare tra $70$ e $90$ ed essere molto più vicino a $70$, perché il gruppo B contiene l’$80\%$ delle osservazioni. Il valore $74$ supera entrambi i controlli.

Queste verifiche non sostituiscono il calcolo, ma fanno emergere rapidamente molti errori. Un risultato sopra $90$, sotto $70$ o più vicino al gruppo di due valori contraddirebbe la struttura prima ancora di ripetere l’aritmetica in dettaglio.

La lezione più importante non è una nuova formula da memorizzare, ma una domanda da porre ogni volta che compare una statistica riassuntiva: quale conteggio, totale o popolazione rappresenta questo numero? La stessa abitudine serve quando si confrontano risultati di gruppi, lotti sperimentali, tassi di risposta, prezzi e altri dati aggregati.

Un tutor utile deve quindi chiedere le numerosità prima di combinare le medie e rendere esplicita l’informazione mancante. Per provare il ragionamento con i tuoi numeri puoi aprire il tutor di Euler; le guide di Euler Learn seguono lo stesso schema, con una derivazione e poi un controllo indipendente.