Un esempio non è una dimostrazione: come usare i controesempi

Le espressioni per ogni, per tutti e sempre introducono un'affermazione universale. La regola deve funzionare per ogni valore del dominio dichiarato. Un'affermazione che inizia con esiste, invece, richiede un solo esempio che la soddisfi. Queste due forme logiche richiedono prove diverse.

Supponiamo di affermare che $a<b$ implichi sempre $a^2<b^2$. Con $2<3$ otteniamo $4<9$, ma abbiamo confermato soltanto un caso. La frase parla ancora di numeri negativi, zero, frazioni e di ogni altro valore reale ammesso. Prima di calcolare, conviene quindi scrivere dominio e quantificatore: quali valori deve coprire esattamente la regola?

Scegliamo $a=-3$ e $b=-2$. È vero che $-3<-2$, ma elevando al quadrato otteniamo $9>4$. Questa singola coppia rispetta l'ipotesi e contraddice la conclusione: l'affermazione universale iniziale è falsa. Non serve trovare un secondo controesempio.

Un controesempio deve rispettare tutte le condizioni della frase. Se la regola riguarda numeri positivi, un valore negativo non può smentirla. Se esclude lo zero, usare zero non è pertinente. Il metodo utile è preciso: conservare le ipotesi, far fallire la conclusione e mostrare esplicitamente entrambi i controlli.

Un buon controesempio non si limita a dire di no: spesso rivela la condizione mancante. Il quadrato conserva l'ordine se $0le a<b$, perché entrambi i numeri sono non negativi. Nei casi negativi, invece, il confronto tra i valori assoluti può cambiare verso; è proprio qui che l'affermazione senza restrizioni falliva.

La versione corretta è più stretta ma vera: se $0le a<b$, allora $a^2<b^2$. Possiamo dimostrarlo scomponendo la differenza: $b^2-a^2=(b-a)(b+a).$ Con queste ipotesi, $b-a>0$ e $b+a>0$, quindi il loro prodotto è positivo. Ne segue $b^2-a^2>0$, equivalente a $a^2<b^2$.

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I controesempi si trovano raramente provando soltanto numeri interi comodi. Conviene partire dai bordi del dominio: $0$, $1$, valori negativi, valori uguali, frazioni molto piccole e numeri che annullano un denominatore. Se compaiono radici, logaritmi o reciproci, controlliamo dove l'espressione è definita.

Per esempio, “aggiungere lo stesso numero a numeratore e denominatore lascia invariata una frazione” può sembrare plausibile, ma aggiungendo $1$ a $1/2$ otteniamo $2/3$. Il rapporto cambia. Allo stesso modo, la frase $1/n<1$ per ogni intero positivo $n$ fallisce al bordo $n=1$, dove c'è uguaglianza. I casi limite fanno emergere rapidamente le condizioni mancanti.

Una tabella, un grafico o una ricerca al computer possono fornire indizi e aiutare a scoprire una regolarità. Se il dominio è finito e controlliamo davvero ogni caso, una verifica esaustiva può essere una dimostrazione. In un dominio infinito, però, anche molti casi favorevoli lasciano valori non esaminati.

Questo non rende inutili gli esempi. Gli esempi aiutano a comprendere la frase, intercettano errori di calcolo e suggeriscono la dimostrazione. I controesempi la sottopongono a una prova severa. La dimostrazione spiega infine perché la versione corretta deve valere in tutto il dominio. Sono strumenti diversi per domande diverse.

Scriviamo l'affermazione con dominio e quantificatore. Proviamo un caso ordinario per verificare di averla capita. Poi esploriamo casi limite e cambi di segno, cercando deliberatamente un controesempio. Se la frase resiste, cerchiamo una struttura che possa dimostrarla; se fallisce, usiamo il fallimento per correggere le ipotesi o la conclusione. Infine, controlliamo di nuovo la versione modificata prima di scrivere la prova.

Puoi chiedere al tutor di Euler di sfidare una congettura con casi limite e richiedere la dimostrazione soltanto quando la frase è precisa. In Euler Learn trovi altre spiegazioni svolte con controlli espliciti. L'obiettivo non è diffidare di ogni regolarità, ma capire quale tipo di prova manca ancora.