Varianza e deviazione standard: perché le unità cambiano il significato

Prima di calcolare una delle due misure, dobbiamo stabilire che cosa rappresentino i valori elencati. Per una popolazione di $N$ valori con media $\mu$, varianza e deviazione standard sono $\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2,\qquad \sigma=\sqrt{\sigma^2}.$ Il quadrato su $\sigma$ fa parte della notazione: la varianza è il quadrato della deviazione standard.

Per un campione usato per stimare una popolazione più ampia, lo stimatore abituale è $s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.$ Il denominatore cambia perché cambia lo scopo. In questo articolo consideriamo una popolazione completa e dividiamo quindi per $N$. Esplicitare la scelta evita che due formule corrette sembrino in contraddizione.

Consideriamo la popolazione $2,4,6$. La media è $\mu=4$, quindi gli scarti dalla media sono $-2,0,2$. La loro somma è zero, come deve accadere quando gli scarti sono calcolati rispetto alla media aritmetica. Elevandoli al quadrato otteniamo $4,0,4$.

La varianza della popolazione è $\sigma^2=\frac{4+0+4}{3}=\frac{8}{3}\approx2{,}67.$ La deviazione standard della popolazione è quindi $\sigma=\sqrt{\frac{8}{3}}\approx1{,}63.$ Non sono due stime concorrenti: la seconda è esattamente la radice quadrata della prima, espressa su una scala diversa.

Sommando gli scarti con il loro segno otterremmo sempre zero, perché le distanze positive e negative si annullano. Il quadrato evita questa cancellazione, rende ogni contributo non negativo e assegna maggiore influenza agli scarti più grandi. Produce inoltre formule maneggevoli in algebra, probabilità, ottimizzazione e modellazione statistica.

Il quadrato non è l’unico modo possibile per misurare la dispersione. Anche i valori assoluti impediscono la cancellazione. La scelta dipende dallo scopo: gli scarti quadratici sono particolarmente utili quando gli errori grandi devono pesare di più e quando conta la struttura algebrica.

Se i dati sono misurati in ore, ogni scarto è misurato in ore, ma il suo quadrato è misurato in ore al quadrato. La varianza ha quindi unità $\text{ore}^2$. È un risultato matematicamente coerente, ma non appartiene alla scala su cui leggiamo le osservazioni iniziali.

La radice quadrata riporta la deviazione standard alle ore. Nell’esempio, una deviazione standard di circa $1{,}63$ unità si può confrontare direttamente con i valori $2,4,6$ e con la loro media $4$. Non va descritta come distanza assoluta media dalla media: quella è una misura diversa.

Per la stessa popolazione, lo scarto medio assoluto dalla media è $\frac{|{-2}|+|0|+|2|}{3}=\frac{4}{3}\approx1{,}33.$ Anche questa misura usa le unità originali dei dati, ma combina le distanze linearmente invece di elevarle prima al quadrato.

Le due misure rispondono a domande vicine con enfasi diversa. Lo scarto medio assoluto è una media diretta delle distanze. La deviazione standard è la radice quadrata di una media di distanze al quadrato, quindi risente maggiormente degli scarti insolitamente grandi. Non conviene sostituire una misura con l’altra senza considerare lo scopo dell’analisi.

Entrambe le misure devono essere non negative e valgono zero soltanto quando tutti i valori coincidono. Aggiungere la stessa costante a ogni osservazione cambia la media ma non gli scarti, quindi varianza e deviazione standard restano uguali. Moltiplicare ogni osservazione per un fattore $a$ moltiplica la varianza per $a^2$ e la deviazione standard per $|a|$.

Per esempio, moltiplicando $2,4,6$ per $10$ otteniamo $20,40,60$. La varianza diventa $800/3\approx266{,}67$, esattamente $100$ volte quella iniziale, mentre la deviazione standard diventa circa $16{,}33$, esattamente $10$ volte quella iniziale. Se un calcolo non rispetta queste relazioni, occorre ricontrollare scarti, denominatore o radice.

Usiamo la varianza quando gli scarti quadratici fanno parte del modello, quando occorre combinare varianze oppure quando interessa soprattutto l’algebra. Usiamo la deviazione standard quando il risultato deve essere discusso accanto alle osservazioni originali. Usiamo lo scarto medio assoluto quando vogliamo una media diretta delle distanze. In ogni caso, specifichiamo se il calcolo riguarda una popolazione o un campione.

Una routine affidabile consiste nello scrivere la media, elencare gli scarti, verificare che la loro somma sia zero, elevarli al quadrato o prenderne il valore assoluto secondo la misura scelta e controllare le unità finali. Puoi provare la sequenza con i tuoi dati nel tutor di Euler, oppure esplorare altre spiegazioni svolte in Euler Learn.