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Come si calcolano variazioni percentuali successive?

Un metodo rigoroso con fattori moltiplicativi, formula generale ed esempio verificabile per evitare di sommare percentuali con basi diverse.

Trasforma ogni variazione decimale rir_i nel fattore 1+ri1+r_i, moltiplica i fattori e sottrai 11: rtot=(1+r1)(1+r2)⋯(1+rn)−1.r_{tot}=(1+r_1)(1+r_2)\cdots(1+r_n)-1. Una diminuzione del p%p\% usa r=−p/100r=-p/100.

Dalla percentuale al fattore moltiplicativo

Se un valore iniziale è VV, un aumento del p%p\% produce V(1+p100),V\left(1+\frac{p}{100}\right), mentre una diminuzione del p%p\% produce V(1−p100).V\left(1-\frac{p}{100}\right). Il fattore descrive in un solo numero sia il valore iniziale sia la parte aggiunta o sottratta. Per esempio, +20%+20\% corrisponde a 1.201.20 e −20%-20\% a 0.800.80.

La formula per due variazioni

Scriviamo due tassi come numeri decimali pp e qq, positivi per un aumento e negativi per una diminuzione. Dopo entrambe le variazioni, il valore è Vf=V(1+p)(1+q).V_f=V(1+p)(1+q). Rispetto a VV, il tasso complessivo è quindi (1+p)(1+q)−1=p+q+pq.(1+p)(1+q)-1=p+q+pq. Il termine pqpq spiega perché, in generale, non basta sommare le due percentuali: la seconda agisce sul valore già modificato.

Esempio: +20% e poi −20%

Partendo da 100100, l’aumento porta a 100⋅1.20=120.100\cdot1.20=120. La diminuzione successiva è il 20%20\% di 120120, cioè 2424, quindi 120⋅0.80=96.120\cdot0.80=96. La verifica diretta usa il fattore complessivo: 1.20⋅0.80=0.96.1.20\cdot0.80=0.96. Il valore finale è il 96%96\% di quello iniziale, dunque la variazione netta è −4%-4\%, non zero.

Come invertire davvero una variazione

Per annullare una diminuzione del 20%20\% serve il fattore inverso di 0.800.80: 10.80=1.25.\frac{1}{0.80}=1.25. Occorre quindi un aumento del 25%25\%, perché 0.80⋅1.25=10.80\cdot1.25=1. Più in generale, per invertire un fattore non nullo mm si usa 1/m1/m. Per molte variazioni successive, basta moltiplicare tutti i fattori prima di sottrarre 11.

Domande frequenti

Perché non posso semplicemente sommare le percentuali?

Puoi farlo soltanto quando tutte le percentuali sono calcolate sulla stessa base. Nelle variazioni successive, ogni percentuale agisce sul valore ottenuto al passaggio precedente.

L’ordine delle variazioni cambia il risultato finale?

Se si applicano soltanto fattori percentuali senza arrotondamenti o altre operazioni, il risultato finale non cambia perché la moltiplicazione è commutativa. Cambiano però i valori intermedi.

Quale aumento annulla una diminuzione del 20%?

Un aumento del 25%. Dopo la diminuzione resta il fattore 0.80; il suo inverso è 1/0.80=1.25.

Percento e punti percentuali sono la stessa cosa?

No. Passare, per esempio, dal 20% al 25% è un aumento di 5 punti percentuali, ma un aumento relativo del 25%.