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Perché la derivata di x² è 2x?

Una derivazione breve e rigorosa dalla definizione di limite, con interpretazione geometrica.

La derivata di $x^2$ è $2x$ perché il rapporto incrementale si semplifica in $2x+h$ , che tende a $2x$ quando $h\to0$ .

Dalla definizione

Partiamo da $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$ Per $f(x)=x^2$ otteniamo $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h.$ Facendo tendere $h$ a zero resta $f'(x)=2x$ .

Che cosa significa

La pendenza della parabola cresce linearmente con $x$ . In $x=3$ la tangente ha pendenza $6$ ; in $x=-2$ ha pendenza $-4$ ; nel vertice $x=0$ la pendenza è zero.

Controllo rapido

Tra $x=3$ e $x=3.01$ , $x^2$ aumenta da $9$ a $9.0601$ . Il rapporto $0.0601/0.01=6.01$ è già molto vicino a $2\cdot3=6$ .

Domande frequenti

Serve conoscere la regola di potenza?

No. La dimostrazione usa soltanto la definizione di derivata e lo sviluppo del quadrato di un binomio.

La derivata di x² è sempre positiva?

No. È 2x: negativa per x<0, nulla in x=0 e positiva per x>0.