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Limiti e forma indeterminata 0/0

Perché 0/0 non è un risultato e come la semplificazione rivela il comportamento del limite.

$0/0$ non è il valore del limite: segnala che numeratore e denominatore si annullano e che bisogna studiare il loro rapporto più attentamente.

Un esempio

Considera $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}.$ La sostituzione diretta dà $0/0$ , ma $x^2-4=(x-2)(x+2)$ . Per $x\ne2$ il rapporto è $x+2$ , quindi il limite vale $4$ .

Perché possiamo semplificare

Un limite descrive valori arbitrariamente vicini al punto, non richiede che la funzione sia definita proprio nel punto. La funzione semplificata coincide con quella originale per ogni $x$ vicino a 2 tranne $x=2$ .

Strategia

Dopo una forma $0/0$ , prova fattorizzazione, razionalizzazione, identità trigonometriche o un teorema appropriato. Non cancellare termini attraverso somme: si semplificano soltanto fattori comuni.

Domande frequenti

0/0 può valere qualsiasi numero?

Come espressione è indefinita. Limiti diversi che producono formalmente 0/0 possono però avere valori diversi, divergere o non esistere.

Devo usare sempre de l’Hôpital?

No. In molti esercizi elementari la fattorizzazione o la razionalizzazione è più diretta e mostra meglio la struttura del problema.