Perché dividere per una frazione significa moltiplicare per il reciproco?

Calcolare $a\div\frac{b}{c}$ significa trovare il numero $x$ che soddisfa $x\cdot\frac{b}{c}=a.$ Moltiplicando entrambi i membri per $\frac{c}{b}$ otteniamo $x\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{b}=a\cdot\frac{c}{b}.$ A sinistra i fattori si semplificano a $1$, quindi $x=a\cdot\frac{c}{b}$. Il reciproco non è un trucco mnemonico: è il numero che trasforma il divisore in $1$.

Una divisione è un rapporto. Se moltiplichiamo dividendo e divisore per lo stesso numero non nullo, il rapporto non cambia. Perciò $a\div\frac{b}{c}=\left(a\cdot\frac{c}{b}\right)\div\left(\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{b}\right)=\left(a\cdot\frac{c}{b}\right)\div1.$ Scegliamo proprio $c/b$ perché rende il divisore uguale a $1$.

Considera $6\div\frac{3}{4}=6\cdot\frac{4}{3}=\frac{24}{3}=8.$ In termini concreti, in $6$ entrano otto gruppi da $3/4$. La verifica usa l’operazione inversa: $8\cdot\frac{3}{4}=6.$ Poiché il prodotto restituisce il dividendo iniziale, il quoziente è corretto.

La regola funziona anche con frazioni negative. Per esempio, $5\div\left(-\frac{2}{3}\right)=5\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{15}{2},$ e $(-15/2)(-2/3)=5$. Il divisore non può essere zero: nella frazione $b/c$ devono valere sia $c\ne0$, perché la frazione esista, sia $b\ne0$, perché non si può dividere per zero. L’errore comune è capovolgere il dividendo; si prende invece il reciproco soltanto del divisore.