Perché la divisione per zero non è definita?

Per un divisore non nullo, scrivere $\frac{a}{b}=c$ equivale a dire $bc=a.$ Per esempio, $12/3=4$ perché $3\cdot4=12$. Inoltre il risultato è unico: se $3c=12$, allora necessariamente $c=4$.

Questa unicità fa parte del significato di una divisione ben definita. Mettere zero al posto di $b$ rompe proprio questa proprietà.

Supponiamo che $1/0=c$. L’operazione inversa richiederebbe $0\cdot c=1.$ Ma $0\cdot c=0$ per ogni numero reale $c$, quindi l’equazione è impossibile. Lo stesso ragionamento vale per qualsiasi $a\ne0$: l’equazione $0\cdot c=a$ non ha soluzioni. Perciò $a/0$ non può essere un numero reale quando $a\ne0$.

Se proviamo a porre $0/0=c$, otteniamo $0\cdot c=0.$ Questa volta l’equazione è vera per ogni $c$: funzionano $0$, $1$, $-7$ e qualsiasi altro numero reale. Poiché la divisione deve produrre un unico quoziente, avere infinite possibilità non definisce una risposta. Ecco perché anche $0/0$ è indefinito.

Un limite studia valori vicini a un punto, non esegue la divisione nel punto. Per esempio, per $x\ne2$, $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2,$ quindi $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4.$ Tuttavia l’espressione originale in $x=2$ resta $0/0$ e non è definita.

Altri comportamenti sono possibili: $1/x$ cresce senza limite positivo quando $x\to0^+$ e senza limite negativo quando $x\to0^-$. Quindi non esiste neppure un unico limite reale bilatero. Parlare di infinito in un limite non trasforma $1/0$ in un numero.