Perché la velocità media su distanze uguali usa la media armonica?

La velocità media non è, in generale, la media dei numeri sul tachimetro. Per definizione è $\bar v=\frac{\text{distanza totale}}{\text{tempo totale}}.$ Supponiamo che ogni tratta abbia lunghezza $d>0$ e che le velocità costanti siano $v_1>0$ e $v_2>0$. La distanza totale è $2d$. I tempi delle due tratte sono invece $d/v_1$ e $d/v_2$, quindi $\bar v=\frac{2d}{d/v_1+d/v_2}=\frac{2}{1/v_1+1/v_2}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}.$ La distanza $d$ si semplifica: conta che le due distanze siano uguali, non il loro valore specifico.

Scegliamo due tratte da $120$ km. A $60$ km/h la prima richiede $120/60=2\text{ ore},$ mentre a $40$ km/h la seconda richiede $120/40=3\text{ ore}.$ In totale percorriamo $240$ km in $5$ ore, perciò $\bar v=240/5=48\text{ km/h}.$ La formula della media armonica dà lo stesso risultato: $\frac{2\cdot60\cdot40}{60+40}=\frac{4800}{100}=48\text{ km/h}.$ Il doppio calcolo è un controllo diretto.

La media aritmetica delle velocità è $(60+40)/2=50$ km/h, ma assegna lo stesso peso temporale alle due velocità. Sulle distanze uguali, invece, la tratta a $40$ km/h dura $3$ ore e quella a $60$ km/h soltanto $2$ ore: la velocità più bassa incide più a lungo.

Il valore $50$ km/h sarebbe corretto se viaggiassimo per lo stesso tempo a ciascuna velocità. Per esempio, un’ora a $60$ km/h e un’ora a $40$ km/h coprono $100$ km in $2$ ore, quindi la media è $50$ km/h. Prima di scegliere una media, bisogna quindi chiedersi che cosa è uguale: il tempo o la distanza.

Per $n$ tratte di uguale lunghezza percorse a velocità positive $v_1,\ldots,v_n$, lo stesso ragionamento produce la media armonica $\bar v=\frac{n}{1/v_1+\cdots+1/v_n}.$ Se le distanze non sono uguali, usa direttamente $\bar v=\frac{d_1+\cdots+d_n}{d_1/v_1+\cdots+d_n/v_n}.$ Eventuali soste devono essere aggiunte al tempo totale se la domanda chiede la velocità media dell’intero viaggio. In ogni caso, il controllo essenziale resta sempre distanza totale divisa per tempo totale.