Perché un numero diverso da zero elevato alla zero fa 1?

Sia $a e0$ e scegliamo un intero positivo $n$. Un numero non nullo diviso per se stesso vale $1$, quindi rac{a^n}{a^n}=1. La regola del quoziente delle potenze con la stessa base dice invece rac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0. Le due espressioni descrivono lo stesso quoziente; perciò $a^0=1.$ Non è una convenzione isolata: è il valore che mantiene coerenti le regole degli esponenti.

Prendiamo $a=5$ e $n=3$. Da una parte, rac{5^3}{5^3}=rac{125}{125}=1. Dall’altra, sottraendo gli esponenti otteniamo rac{5^3}{5^3}=5^{3-3}=5^0. Quindi $5^0=1$. Lo stesso controllo funziona con una base negativa: $(-2)^4/(-2)^4=16/16=1=(-2)^0$.

Per una base non nulla, diminuire l’esponente di $1$ equivale a dividere per la base. Con $a=3$ otteniamo $3^3=27,quad 3^2=9,quad 3^1=3,quad 3^0=1.$ Ogni termine è il precedente diviso per $3$. Continuando, $3^{-1}=1/3$. Il valore $1$ in esponente zero collega quindi in modo coerente gli esponenti positivi a quelli negativi.

La derivazione usa $a^n/a^n$, che richiede un denominatore diverso da zero. Se $a=0$ e $n>0$, avremmo $0^n/0^n=0/0$, un’espressione indefinita. Per questo la regola standard è formulata come $a^0=1$ per $a e0$.

L’espressione $0^0$ viene talvolta assegnata al valore $1$ in contesti discreti, come alcune formule combinatorie, mentre nell’analisi può comparire come forma indeterminata in un limite. Il contesto deve quindi essere dichiarato: la dimostrazione precedente non stabilisce un valore universale per $0^0$.