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Teorema di Bayes: spiegazione intuitiva

Come aggiornare una probabilità dopo una nuova evidenza, senza confondere P(A|B) con P(B|A).

Bayes aggiorna la probabilità di un’ipotesi $A$ osservando un’evidenza $B$ : $P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}.$

Le tre parti della formula

$P(A)$ è la probabilità iniziale; $P(B\mid A)$ misura quanto l’evidenza è compatibile con l’ipotesi; $P(B)$ normalizza il risultato considerando tutti i modi in cui $B$ può verificarsi.

Un esempio con 1.000 persone

Supponi che 10 persone abbiano una condizione. Un test identifica 9 di loro, ma risulta positivo anche per 99 persone sane. Tra i 108 positivi, solo 9 hanno davvero la condizione: la probabilità dopo il test è $9/108\approx8.3\%$ , non $90\%$ .

L’errore più comune

$P(B\mid A)$ e $P(A\mid B)$ non sono la stessa cosa. L’accuratezza del test tra chi ha la condizione non coincide con la probabilità di avere la condizione dopo un risultato positivo.

Domande frequenti

Perché la probabilità iniziale conta tanto?

Perché un evento molto raro può produrre più falsi positivi che veri positivi anche con un test piuttosto accurato.

Bayes vale solo per i test medici?

No. Si usa in statistica, diagnostica, machine learning e in ogni problema in cui una nuova evidenza aggiorna una credenza iniziale.