Perché le probabilità di eventi indipendenti si moltiplicano?

Per due eventi $A$ e $B$ con $P(A)>0$, la definizione di probabilità condizionata è $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.$ Moltiplicando entrambi i membri per $P(A)$ otteniamo la regola del prodotto $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A).$ Questa identità non richiede indipendenza: il secondo fattore descrive la probabilità di $B$ dopo aver saputo che $A$ è avvenuto. Se $P(A)=0$, anche $P(A\cap B)=0$, perché l’intersezione è contenuta in $A$.

Per definizione, $A$ e $B$ sono indipendenti quando $P(A\cap B)=P(A)P(B).$ Se $P(A)>0$, questa condizione equivale a $P(B\mid A)=P(B).$ In parole semplici, sapere che $A$ è avvenuto non modifica la probabilità di $B$. Sostituendo questo valore nella regola generale otteniamo $P(A\cap B)=P(A)P(B).$ Le probabilità si moltiplicano quindi perché ogni passaggio indipendente mantiene la propria probabilità anche dopo i passaggi precedenti.

Indichiamo con $H_1$ l’evento «testa al primo lancio» e con $H_2$ l’evento «testa al secondo lancio». I lanci sono indipendenti e ciascuno ha probabilità $1/2$, perciò $P(H_1\cap H_2)=\frac12\cdot\frac12=\frac14.$ Possiamo controllare il risultato elencando gli esiti ordinati: $HH,\ HT,\ TH,\ TT.$ Sono quattro esiti equiprobabili e soltanto $HH$ soddisfa entrambi gli eventi, quindi la probabilità è davvero $1/4$.

Un sacchetto contiene $3$ gettoni rossi e $2$ blu. La probabilità di estrarre un rosso alla prima estrazione è $3/5$. Se non rimettiamo il gettone nel sacchetto e il primo era rosso, restano $2$ rossi su $4$ gettoni, quindi $P(\text{rosso poi rosso})=\frac35\cdot\frac24=\frac3{10}.$ Moltiplicare $3/5$ per $3/5$ darebbe $9/25$, che è errato perché la prima estrazione cambia la seconda probabilità. Quando l’evidenza modifica la probabilità successiva, serve il fattore condizionato. La guida al teorema di Bayes mostra come aggiornare una probabilità in modo sistematico.