Perché moltiplicare una disuguaglianza per un numero negativo inverte il segno?

Da $a<b$ segue che la differenza $b-a$ è positiva. Se $c<0$, allora $-c>0$ e il prodotto di due numeri positivi è positivo: $(-c)(b-a)>0.$ Sviluppando il prodotto otteniamo $ca-cb>0.$ Questo significa precisamente che $ca>cb$. Il verso cambia quindi per conservare un’affermazione vera sull’ordine dei due prodotti.

Moltiplicare per $-1$ riflette ogni punto rispetto a zero. Per esempio, $-2<5$, ma dopo la riflessione otteniamo $2>-5$. I punti che erano più a destra finiscono più a sinistra e viceversa. Moltiplicare per un negativo qualsiasi, come $-3$, aggiunge una dilatazione di fattore $3$ alla stessa riflessione: da $-2<5$ segue $6>-15$.

Partiamo da $-4x+3\le19.$ Sottraendo $3$ da entrambi i membri otteniamo $-4x\le16.$ Ora dividiamo per $-4$: poiché il divisore è negativo, invertiamo il verso e ricaviamo $x\ge-4.$ Controlliamo il confine: con $x=-4$ entrambi i membri valgono $19$. Un valore ammesso, $x=0$, dà $3\le19$; un valore escluso, $x=-5$, dà $23\le19$, che è falso. I controlli confermano $x\ge-4$.

Dividere per un numero negativo inverte il verso per lo stesso motivo: equivale a moltiplicare per il suo reciproco, che è ancora negativo. La guida sulla divisione per una frazione deriva questa operazione inversa.

Moltiplicare per zero non produce una disuguaglianza equivalente: entrambi i membri diventano zero e l’informazione sull’ordine si perde. Se il segno del moltiplicatore non è noto, bisogna distinguere i casi positivo, negativo e zero. Per controllare un esercizio concreto, puoi chiedere al tutor Euler di verificare ogni passaggio.